jebae's dev blog

코딩 더 매트릭스 - 3장 벡터 (1)

볼록결합, 아핀결합, 선형방정식, 선형시스템

2018년 11월 18일

필립 클라인의 저서 코딩 더 매트릭스 3장 벡터.

  1. 벡터의 성질을 이용해 2차원 좌표평면에 선분을 그려 봅니다.
  2. 볼록결합과 아핀결합에 대해 알아봅니다.
  3. 선형방정식과 선형시스템을 알아봅니다.





선분 그리기

2차원 좌표위에 꼬리가 원점이고 머리가 (a,b)(a, b)인 벡터 vv를 그리려 합니다. 선은 점들의 집합이니 원점과 좌표 (a,b)(a, b)를 지나는 직선에서 vv의 꼬리에서 머리 사이 점들을 찍으면 벡터 vv를 그릴 수 있습니다. 이 점들의 집합은 {αv:α∈R,0≤α≤1}\{\alpha v : \alpha \in \Bbb{R}, 0 \le \alpha \le 1 \}라 쓸 수 있습니다. 여기서 α\alpha는 벡터 vv를 스케일링하는 스칼라입니다. 스칼라 α\alpha가 0과 1사이에서 정의되니 범위안에서 100개의 샘플을 뽑아 그려보겠습니다.

from plotting import plot

def scalar_vector_mult(alpha, v):
    return [ alpha * v[i] for i in range(len(v)) ]

v = [2, 1]
plot([scalar_vector_mult(a / 100, v) for a in range(101)])

만약 α\alpha의 범위가 실수 전체라면 원점과 (a,b)(a, b)를 지나는 직선을 그릴 수 있을 것입니다.
위에서 그렸던 선분은 벡터의 덧셈을 이용해 평행이동 할 수 있습니다.

def add2(v1, v2):
	return [ a + b for a, b in zip(v1, v2) ]

plot([add2(scalar_vector_mult(a / 100, v), [0.5, 1])  for a in range(101)])

(0.5,1)(0.5, 1)만큼 평행이동

이 선분은 원점에서 (2,1)(2, 1)까지의 선분을 (0.5,1)(0.5, 1)만큼 평행이동한 것이기도 하지만 (0.5,1)(0.5, 1)에서 (2.5,2)(2.5, 2)까지의 선분이기도 합니다. 즉 두 점 uu, vv를 끝점으로 가지는 선분은 다음과 같이 쓸 수 도 있습니다.

{α(v−u)+u:α∈R,0≤α≤1}\{ \alpha (v - u) + u : \alpha \in \Bbb{R}, 0 \le \alpha \le 1 \}





볼록결합과 아핀결합

{α(v−u)+u:α∈R,0≤α≤1}\{ \alpha (v - u) + u : \alpha \in \Bbb{R}, 0 \le \alpha \le 1 \} 식을 이용해 두 점을 양 끝점으로 가지는 선분을 나타낼 수 있었습니다. 이 식을 조금 더 변형해보겠습니다.

α(v−u)+u=αv−αu+u=αv+(1−α)u\begin{aligned} \alpha (v - u) + u & = \alpha v - \alpha u + u \\ & = \alpha v + (1 - \alpha)u \end{aligned}

위 식에서 1−α=β1 - \alpha = \beta 로 치환해 보겠습니다.

{αv+βu:α,β∈R,α,β≥0,α+β=1}\{ \alpha v + \beta u : \alpha, \beta \in \Bbb{R}, \alpha, \beta \ge 0, \alpha + \beta = 1 \}

이와 같은 표현식을 벡터 uu와 vv의 볼록결합 (Convex combination) 이라 합니다. 볼록결합 표현식을 이용해 다시 한번 선분을 그려보겠습니다.

def segment(pt1, pt2):
    result = []
    for a in range(11):
		# alpha x v, a를 10으로 나눠주면서 0 <= alpha <= 1 조건을 충족함
        a_pt1 = scalar_vector_mult(a / 10, pt1)
		# beta x u
        a_pt2 = scalar_vector_mult(1 - a / 10, pt2)
        result.append(add2(a_pt1, a_pt2))
    plot(result)

segment([0.5, 1], [2.5, 2])

두 점을 지나는 직선의 점들의 집합은 선분의 점들의 집합에서 0≤α≤10 \le \alpha \le 1 조건만 빼면 나타낼 수 있습니다. 임의의 벡터 uu에 대해 모든 실수 스칼라곱을 할 수 있다면 당연 uu의 방향 또는 그 정반대 방향으로의 스케일링된 벡터들을 구할 수 있습니다. 볼록결합의 표현식에서는 α,β≥0\alpha, \beta \ge 0 조건을 빼서 같은 의미를 나타냅니다.

{αv+βu:α,β∈R,α+β=1}\{ \alpha v + \beta u : \alpha, \beta \in \Bbb{R}, \alpha + \beta = 1 \}

이와 같은 표현식을 벡터 uu와 vv의 아핀결합 (Affine combination) 이라 합니다.





선형방정식과 선형시스템

선형방정식과 선형시스템은 선형대수학을 공부할때 가장 많이 접하는 용어입니다. 선형방정식은 a⋅x=βa \cdot x = \beta 의 형태를 가지는 식으로 aa는 벡터, β\beta는 스칼라이며 xx는 구하고자 하는 선형방정식의 해 벡터입니다. 선형시스템은 그런 방정식들을 모아놓은 컬렉션입니다.

a1⋅x=β1a2⋅x=β2a3⋅x=β3...an⋅x=βn\begin{aligned} a_1 \cdot x &= \beta _1 \\ a_2 \cdot x &= \beta _2 \\ a_3 \cdot x &= \beta _3 \\ & . \\ & . \\ & . \\ a_n \cdot x &= \beta _n \end{aligned}

벡터 xx는 위와 같은 선형시스템의 선형방정식들을 모두 만족해야합니다. 선형시스템의 해가 존재하는지, 존재한다면 유일한지를 판단하는 것은 선형대수학으로 문제를 해결할때 주요 관심사이기도 합니다.

선형대수학
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