크라머 공식 (Cramer's rule)

크라머 공식 (Cramer's rule)

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ & & ... & \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ ... \\ b_n \end{bmatrix}$$

위와 같은 행렬방정식 $Ax = b$ 가 있습니다. 행렬 $A$ 의 한 열 $j$ 를 열벡터 $b$ 로 대체한 행렬을 $A_j$ 라 하겠습니다. 이 때 해벡터 $x$ 의 한 해 $x_j$에 대해 다음이 성립합니다.

$$x_j = \frac{det\text{ }A_j}{det\text{ }A}$$

행렬식 $Ax = b$ 에서 해벡터 $x$ 의 전체 엘리먼트가 아닌 필요한 해 $x_j$ 만을 구하는 위 식을 크라머 공식이라 합니다.

증명

행렬 $A$ 의 $ij$ 여인자를 $C_{ij}$ 라 할 때 행렬식 $det\text{ }A$ 를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$\begin{aligned} det\text{ }A & = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + ... + a_{nj}C_{nj} \\ & = \sum^n_{i = 1}a_{ij}C_{ij} \end{aligned}$$

한편 $k \neq j$ 인 $k$ 에 대해 다음과 같이 식을 써보겠습니다.

$$a_{1k}C_{1j} + a_{2k}C_{2j} + ... + a_{nk}C_{nj} = \sum^n_{i = 1}a_{ik}C_{ij}$$

위 식에서 여인자 $C_{ij}$ 에 $k$ 열의 값이 반영되어 있으므로 이는 $k$ 열과 값이 같은 열이 적어도 하나 이상 더 존재하는 행렬의 행렬식과 같습니다. 값이 같은 열이 두 개이상 존재하면 행렬의 열벡터들이 일차독립이 아니므로 위 식의 결과는 0입니다.

$$\sum^n_{i = 1}a_{ik}C_{ij} = 0$$
이제 아래와 같이 행렬방정식을 전개해 보겠습니다. $$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1j}x_j + ... + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2j}x_j + ... + a_{2n}x_n = b_2 \\ ... \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ... + a_{nj}x_j + ... + a_{nn}x_n = b_n$$

각 식에 여인자 $C_{ij}$ 를 곱해보겠습니다.

$$a_{11}C_{1j}x_1 + a_{12}C_{1j}x_2 + ... + a_{1j}C_{1j}x_j + ... + a_{1n}C_{1j}x_n = b_1 C_{1j} \\ a_{21}C_{2j}x_1 + a_{22}C_{2j}x_2 + ... + a_{2j}C_{2j}x_j + ... + a_{2n}C_{2j}x_n = b_2 C_{2j} \\ ... \\ a_{n1}C_{nj}x_1 + a_{n2}C_{nj}x_2 + ... + a_{nj}C_{nj}x_j + ... + a_{nn}C_{nj}x_n = b_n C_{nj}$$

위 식들을 모두 더해보겠습니다.

$$\sum^n_{i = 1}a_{i1}C_{ij}x_1 + \sum^n_{i = 1}a_{i2}C_{ij}x_2 + ... + \sum^n_{i = 1}a_{ij}C_{ij}x_j + ... + \sum^n_{i = 1}a_{in}C_{ij}x_n = \sum^n_{i = 1}b_i C_{ij}$$

식에서 $k \neq j$ 인 $k$ 열에 대해 $\sum^n_{i = 1}a_{ik}C_{ij} = 0$ 이므로 $\sum^n_{i = 1}a_{ik}C_{ij}x$ 와 같은 항은 모두 0입니다. $\sum^n_{i = 1}a_{ij}C_{ij}x_j = det\text{ }A x_j$ 이고 $\sum^n_{i = 1}b_i C_{ij}$ 는 행렬 $A$ 의 $j$ 열을 벡터 $b$ 로 대채했을 때의 행렬식 $det\text{ }A_j$ 입니다. 따라서 식을 정리하면 다음과 같습니다.

$$0 + 0 + ... + det\text{ }A x_j + ... + 0 = det\text{ }A_j \\ det\text{ }A x_j = det\text{ }A_j \\ \therefore x_j = \frac{det\text{ }A_j}{det\text{ }A}$$

출처

• freshrimpsushi.tistory.com