편미분과 전미분

편미분

편미분(partial derivative)은 partial이라는 단어에서 의미하듯 한쪽에 편중해서 미분하겠다는 의미입니다. 함수 $F(x, y) = f(x) + g(y) + h(x)k(y)$가 있을 때 $x$에 대해 편미분한 식은 다음과 같습니다.

$$\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x} & = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial h}{\partial x} k(y) \\ & = f^\prime(x) + h^\prime(x) g(y) \end{aligned}$$

$x$에 대해 편미분할 때 변수 $y$는 상수취급 합니다. $y$에 대해 편미분한 식은 아래와 같습니다.

$$\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial y} & = \frac{\partial g}{\partial y} + \frac{\partial k}{\partial y} h(x) \\ & = g^\prime(y) + k^\prime(y) h(x) \end{aligned}$$

전미분

전미분(total differential)은 모두 미분한다는 뜻입니다. 함수 $t = t(x, y)$와 $F(x, y) = f(x) + g(y) + h(x)k(y)$ 가 있을 때 $t$에 대해 전미분한 식은 다음과 같습니다.

$$\begin{aligned} \frac{dF}{dt} & = \frac{df}{dt} + \frac{dg}{dt} + \frac{d(h(x) k(y))}{dt} \\ \\ & = \frac{df}{dx} \frac{dx}{dt} + \frac{dg}{dy} \frac{dy}{dt} + \frac{dh}{dx} \frac{dx}{dt} k(y) + \frac{dk}{dy} \frac{dy}{dt} h(x) \\ \\ & = \begin{bmatrix}\frac{df}{dx} + \frac{dh}{dx} k(y)\end{bmatrix} \frac{dx}{dt} + \begin{bmatrix}\frac{dg}{dy} + \frac{dk}{dy} h(x)\end{bmatrix} \frac{dy}{dt} \\ \\ & = \frac{\partial F}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial F}{\partial y} \frac{dy}{dt} \end{aligned}$$ $$\therefore dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy$$

$\frac{df}{dt} = \frac{df}{dx} \frac{dx}{dt}$에서 볼 수 있듯 미분시 연쇄법칙(chain rule)을 적용합니다.