카메라 좌표계 변환

좌표계 변환

좌표계의 축, 즉 기저를 $x$, $y$, $z$ 라 할 때 한 지점 $p$ 의 좌표 표현 $(p_x, p_y, p_z)$ 은 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

$$\begin{bmatrix} \text{ } & \text{ } & \text{ } \\ x & y & z\\ \text{ } & \text{ } & \text{ } \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_x \\ p_y \\ p_z \end{bmatrix} = p$$

공간상의 지점 $p$ 는 그 위치는 변하지 않고 좌표축에 따라 좌표 표현이 달라집니다. 새로운 좌표계의 축을 $u$, $v$, $w$ 이라 할 때 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

$$\begin{bmatrix} \text{ } & \text{ } & \text{ } \\ u & v & w \\ \text{ } & \text{ } & \text{ } \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_u \\ p_v \\ p_w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \text{ } & \text{ } & \text{ } \\ x & y & z\\ \text{ } & \text{ } & \text{ } \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_x \\ p_y \\ p_z \end{bmatrix} = p$$

만약 좌표축 $x$, $y$, $z$ 에 대한 좌표 표현 $p_x$, $p_y$, $p_z$ 로 부터 좌표축 $u$, $v$, $w$ 에 대한 좌표 표현 $p_u$, $p_v$, $p_w$ 를 얻고자 한다면 행렬 $\begin{bmatrix} \text{ } & \text{ } & \text{ } \\ u & v & w \\ \text{ } & \text{ } & \text{ } \end{bmatrix}$ 의 역행렬을 이용합니다.

$$\begin{bmatrix} p_u \\ p_v \\ p_w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \text{ } & \text{ } & \text{ } \\ u & v & w \\ \text{ } & \text{ } & \text{ } \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} \text{ } & \text{ } & \text{ } \\ x & y & z\\ \text{ } & \text{ } & \text{ } \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_x \\ p_y \\ p_z \end{bmatrix}$$

이 때 행렬 $U = \begin{bmatrix} \text{ } & \text{ } & \text{ } \\ u & v & w \\ \text{ } & \text{ } & \text{ } \end{bmatrix}$ 의 열벡터들은 좌표축, 즉 직교기저이고 각 열벡터를 정규화(normalized) 한다면 $U^{-1} = U^T$ 이 성립합니다.

카메라 좌표계 유도

물체의 위치를 표현할 때 기준으로 삼는 좌표계를 월드 좌표계라 합니다. 가장 흔하게는 $x = (1, 0, 0)$, $y = (0, 1, 0)$, $z = (0, 0, 1)$ 을 축으로 가지고 행렬로 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 로 표현할 수 있는 좌표계가 있습니다.

카메라 좌표계는 카메라의 초점을 기준으로 하는 좌표계입니다. 카메라의 초점이 원점이 되고 이에 대해 물체의 좌표 표현이 정해집니다. 카메라 좌표계의 $z$ 축의 방향은 사람의 눈이 모니터를 바라보는 방향과 같습니다. 아래 그림은 월드 좌표계의 축 $x_w$, $y_w$, $z_w$ 과 카메라 좌표계의 축 $x_c$, $y_c$, $z_c$, 물체의 위치 $P$ 를 보여주고 있습니다. 카메라 좌표계의 축 $x_c$, $y_c$, $z_c$ 은 월드 좌표계 상 표현되는 단위 벡터입니다.

월드 좌표계상 물체의 위치 $P_w$ 가 카메라를 기준으로 어떤 위치에 놓이는지를 생각하면 좌표계 변환의 이해가 쉽습니다. 월드 좌표계의 원점을 $O_w$ 라 하고 월드 좌표계상 카메라의 위치를 $C_w$ 라 할 때 아래 그림은 물체의 위치를 $-\overline{O_w C_w}$ 만큼 이동시킨 결과 입니다.

이후 월드 좌표계의 축을 아래와 같이 카메라 좌표계의 각 축의 방향과 일치하도록 회전시키면 물체의 좌표는 카메라 좌표계상 위치 $P_c$ 가 됩니다.

카메라 좌표계 변환은 간단하게 한번의 평행이동과 회전으로 이루어 집니다. 이제 위의 과정을 하나의 행렬식으로 표현해 보겠습니다. 카메라 좌표축을 행렬 $C$ 라 하고 월드 좌표계를 행렬 $W$ 라 하면 다음이 항상 성립합니다.

$$CP_c = WP_w$$

간단하게 아래와 같이 카메라 좌표축의 역행렬을 양변에 곱해 물체의 카메라 좌표상 위치를 구할 수 있다고 착각할 수 있습니다.

$$P_c = C^{-1}WP_w$$

우리가 간과한 것은 행렬 $C$ 와 $W$ 가 열벡터로 가지고 있는 좌표축이 벡터일 뿐이고 벡터의 시작점, 즉 원점에 대한 정보는 가지고 있지 않다는 것입니다. 원점을 고려하지 않았으므로 위 식은 카메라의 위치가 월드 좌표계의 원점일 때만 성립합니다. 카메라 좌표계 변환을 적용하기 위해서 월드 좌표계에 대한 물체의 위치를 $-\overline{O_wC_w}$ 만큼 평행이동시켜 줍니다. 평행이동을 위해 4벡터 행렬을 이용하겠습니다.

$$CP_c = W\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -c_x \\ 0 & 1 & 0 & -c_y \\ 0 & 0 & 1 & -c_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} P_w$$

물체의 위치를 $-\overline{O_wC_w}$ 만큼 평행이동 시킨 것은 카메라 위치를 월드 좌표계의 원점으로 이동시킨 것과 같습니다. 따라서 평행이동한 물체의 위치에 대해 $C^{-1}$ 을 곱하면 물체의 카메라 좌표상 위치를 알 수 있습니다.

$$P_c = C^{-1}W\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -c_x \\ 0 & 1 & 0 & -c_y \\ 0 & 0 & 1 & -c_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} P_w$$

$C^{-1} = C^{T}$ 이므로 아래와 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$\begin{aligned} P_c & = C^{T}W\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -c_x \\ 0 & 1 & 0 & -c_y \\ 0 & 0 & 1 & -c_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}P_w \\ \\ & = \begin{bmatrix} \text{ } & x_c & \text{ } & 0 \\ \text{ } & y_c & \text{ } & 0 \\ \text{ } & z_c & \text{ } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -c_x \\ 0 & 1 & 0 & -c_y \\ 0 & 0 & 1 & -c_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} P_w \\ \\ & = \begin{bmatrix} \text{ } & x_c & \text{ } & 0 \\ \text{ } & y_c & \text{ } & 0 \\ \text{ } & z_c & \text{ } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -c_x \\ 0 & 1 & 0 & -c_y \\ 0 & 0 & 1 & -c_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} P_w \end{aligned}$$

예시로 월드 좌표계 위의 점 $P(1,2,3)$ 을 카메라 좌표계로 변환해 보겠습니다. 카메라의 위치는 $C(4, 1, 1)$ 이라 하고 카메라 좌표축은 $x_c = (0, 1, 0)$, $y_c = (0, 0, -1)$, $z_c = (-1, 0, 0)$ 이라 하겠습니다.

카메라 좌표계 변환 행렬식에 대입하면 다음과 같습니다. 행렬 $T$ 는 평행이동 행렬입니다.

$$\begin{aligned} P_c & = C^{-1} T P_w \\ \\ & = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

카메라 좌표계 축

월드 좌표계 상 카메라의 위치는 주어지는 정보입니다. 하지만 카메라 좌표축은 카메라의 위치와 카메라가 바라보는 지점 (focus)를 고려해 직접 찾아야 합니다. focus 는 게임 캐릭터가 바라보는 방향(1인칭 시점), 공중에서 캐릭터를 바라보는 방향 등 (전지적 시점) 정하기 나름입니다. 이 글에서는 편의상 물체 $P$ 의 위치를 focus 라 하겠습니다. $z_c$ 축은 카메라가 focus 를 바라보는 방향, 즉 $\overline{CP}$ 입니다.

카메라가 아래 그림과 같이 좌우로 기울어지지 않고 focus 를 바라본다고 하겠습니다.

이 때 카메라 좌표축 중 $x_c$ 축은 카메라 좌표축 $z_c$ 와 월드 좌표축 $z_w$ 의 외적 $z_c \times z_w$ 입니다. 벡터 $z_c$ 의 시작점을 월드 좌표계 상 원점에 가져다 놓고 오른손 법칙을 쓰면 쉽게 이해할 수 있습니다. 만약 카메라가 좌우로 기울어졌다면 벡터 $x_c$ 를 $z_c$ 를 축으로 원하는 각도만큼 회전시키면 됩니다. 이는 로드리게스 회전 또는 쿼터니언 회전으로 구현할 수 있습니다.

$y_c$ 축은 $z_c \times x_c$ 입니다. 모든 축을 정규화 시켜 아래 식에 대입하면 카메라 좌표계 변환을 위한 식이 완성됩니다.

$$P_c = \begin{bmatrix} \text{ } & x_c & \text{ } & 0 \\ \text{ } & y_c & \text{ } & 0 \\ \text{ } & z_c & \text{ } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -c_x \\ 0 & 1 & 0 & -c_y \\ 0 & 0 & 1 & -c_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} P_w$$

출처 및 참고

• www.cse.psu.edu