레이 트레이싱 (5)

광선과 물체가 부딪힌 지점 $p$ 는 카메라 원점 $e$ 와 광선의 방향을 나타내는 벡터 $d$, 카메라로부터 떨어진 거리 $t$ 를 이용해 아래와 같이 쓸 수 있었습니다.

$$p = e + td$$

하지만 지점 $p$ 만으로는 물체를 렌더하기 위한 Phong reflection 식을 완성할 수 없었습니다. 이번 포스트에서는 Phong reflection 을 완성하고 이후 반사와 굴절을 구하기 위한 요소, 법선 벡터 $n$ 을 알아보겠습니다.

법선 벡터

물체의 한 지점 $p$ 는 공간에 있는 가장 작은 요소인 점입니다. 구, 원뿔, 원기둥, 평면 또는 직육면체 등은 표면의 한 점에서 법선 벡터를 가집니다. 구, 원뿔, 원기둥과 같은 경우 아래 그림과 같이 한 점의 법선 벡터는 그 접평면의 법선 벡터입니다.

이어지는 절부터는 구, 원뿔, 원기둥, 평면에 대해 각각의 법선 벡터를 구하는 방법을 알아보겠습니다.

구 (Sphere)

구의 한 지점에서의 법선 벡터를 찾는 것은 아주 쉽습니다. 광선과 구가 부딪힌 지점 $p$ 와 구의 중심 $c$ 를 잇는 $\overline{cp}$ 가 법선 벡터가 됩니다. 주의해야 할 것은 모든 도형의 법선 벡터는 길이가 1인 단위 벡터여야 한다는 것입니다.

$$\begin{aligned} n_{sphere} = \overline{cp}\\ (\parallel cp \parallel = 1) \end{aligned}$$

레이 트레이싱의 원리를 구현하는 코드를 작성할 때 종종 단위 벡터로 정규화하지 않아 디버깅이 힘들어지는 경우가 많습니다. 이는 법선 벡터 뿐만 아니라 광선의 진행 방향, 반사, 굴절에 대해서도 마찬가지입니다.

원뿔 (Cone)

원뿔의 꼭지점을 $c$, 광선과 원뿔이 부딪힌 지점을 $p$, 원뿔의 중심축을 지나고 꼭지점에서 밑면을 향하는 단위벡터를 $v$, $\overline{cp}$ 와 수직을 이루면서 중심축 위에 있는 점을 $c'$ 이라 하겠습니다. 이 때 점 $p$ 에서의 법선벡터는 $\overline{c'p}$ 입니다.

법선 벡터 $\overline{c'p}$ 를 $\overline{cp} - \overline{cc'}$ 로 다시 써보겠습니다.

$$\overline{c'p} = \overline{cp} - \overline{cc'}$$

벡터 $\overline{cp}$ 는 이미 알고 있는 정보이므로 미지수 $\overline{cc'}$ 만 찾으면 $\overline{c'p}$ 를 구할 수 있습니다. $\overline{cc'}$ 는 단위 벡터 $\overline{v}$ 의 스칼라배이므로 $\overline{cc'} = \alpha \overline{v}$ 와 같이 쓸 수 있습니다. 이 때 $\alpha$ 는 $\parallel \overline{cc'} \parallel$ 이고 $\parallel \overline{cc'} \parallel$ 에 대해 다음이 성립합니다.

$$\begin{aligned} cos\theta = \frac{\parallel \overline{cp} \parallel}{\parallel \overline{cc'} \parallel} = \frac{\overline{cp} \cdot \overline{v}}{\parallel \overline{cp} \parallel}\\ \\ \therefore \parallel \overline{cc'} \parallel = \frac{\parallel \overline{cp} \parallel}{cos\theta} = \frac{\parallel \overline{cp} \parallel^2}{\overline{cp} \cdot \overline{v}} \end{aligned}$$

$\alpha = \parallel \overline{cc'} \parallel$ 에 대해 $\frac{\parallel \overline{cp} \parallel}{cos\theta}$ 와 $\frac{\parallel \overline{cp} \parallel^2}{\overline{cp} \cdot \overline{v}}$ 두가지 식을 사용할 수 있습니다. 만약 라이브러리 또는 본인이 구현한 cosf 함수 비용이 작다면 $\frac{\parallel \overline{cp} \parallel}{cos\theta}$ 를, 아니라면 $\frac{\parallel \overline{cp} \parallel^2}{\overline{cp} \cdot \overline{v}}$ 를 이용하면 될 것입니다. $\alpha = \parallel \overline{cc'} \parallel$ 를 적용해 법선벡터 식을 정리해보겠습니다.

$$\begin{aligned} n_{cone} = \overline{c'p} &= \overline{cp} - \frac{\parallel \overline{cp} \parallel}{cos\theta} \overline{v}\\ \\ &= \overline{cp} - \frac{\parallel \overline{cp} \parallel^2}{\overline{cp} \cdot \overline{v}} \overline{v} \end{aligned}$$

구의 경우와 마찬가지로 법선 벡터를 구한 뒤엔 단위 벡터로 정규화해주어야 합니다.

원기둥 (Cylinder)

원기둥의 중심축 위 끝점을 $c$, 광선과 원기둥이 부딪힌 지점을 $p$, 중심축 방향인 단위벡터를 $v$ 라 하겠습니다. 오른쪽 단면 그림을 보면 구하고자 하는 법선 벡터는 $\overline{c'p}$ 입니다. 원뿔의 경우와 마찬가지로 $\overline{c'p} = \overline{cp} - \overline{cc'}$ 라 하고 $\overline{cc'} = \alpha \overline{v}$ 라 하겠습니다. 여기서 $\alpha = \parallel \overline{cc'} \parallel = \overline{cp} \cdot \overline{v}$ 입니다. 따라서 원기둥의 법선벡터를 구하는 식은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

$$n_{cylinder} = \overline{c'p} = \overline{cp} - (\overline{cp} \cdot \overline{v})\overline{v}$$

평면 (Plane)

평면은 객체의 정보를 어떻게 저장하고 있느냐에 따라 법선 벡터를 구하는 방법이 다릅니다. 만약 평면 위의 임의의 한 점과 법선벡터를 저장하고 있다면 법선벡터를 그대로 사용하면 됩니다. 만약 평면의 방정식 $ax + by + cz + d = 0$ 를 기반으로 $a, b, c, d$ 를 저장하고 있다면 $[a, b, c]$ 가 법선 벡터입니다.

이제 법선 벡터를 이용해 Phong reflection 쉐이딩 식을 완성할 수 있게 되었습니다. 다음 포스트에서는 빛과 물체의 관계에 필수 불가결적인 요소, 그림자를 표현하는 방법을 알아보겠습니다.